从Bloch球面理解自旋1/2,以及对自旋1/2的旋转操作(发于繁星客栈)

一个qubit的状态可以表达为Bloch球面上一个点。不失一般性,可以选择方向上的本征态将整个Bloch球面上所有的态表达为二者的叠加:,由于全局相位不可观察,所以全局相位角就没有被表达在Bloch球面上。

(注意,这个中的因子并不神秘,因为是Bloch球面上一点在球坐标中的天顶角,该点对应的量子态在两个分量上的归一化系数的绝对值必须是,这一点在Bloch球面上稍加分析就可知道。)

旋转算子相当于将整个Bloch球面绕轴旋转角。简化问题并且不失一般性,我们考虑z表象下绕z轴的旋转算子:。这里面的因子看上去有些诡异,也正是因为这个因子导致了『转两圈才还原』这种事情。

但事实上这并不奇怪,显然,这个矩阵将的相位反向转动了,而将的相位正向转动了。这样,二者的相位差就会增大,在Bloch球面上对应的点刚好是所对应的点绕z轴正向旋转的点。也就是说,旋转操作的作用表现在Bloch球面上,就是对Bloch球面的普通旋转操作,没有任何神秘之处。

但『转两圈才还原』到底是怎么回事呢?因为这里还有一个被抛弃的全局相因子,这个相因子由于对单个qubit是不可观察的,所以在Bloch球面上就被扔掉了。

当我们实施旋转操作的时候,全局相因子转动了,只有转动两整圈的时候,全局相因子才转动了一整圈对于单个qubit,这个全局相因子是完全不可观察的,因此对于单个qubit,我们根本不必关心『转两圈才还原』这回事,无论是把粒子旋转一圈还是把仪器旋转一圈,都不会发现任何可观察的差别。

但是,对于多个自旋1/2的粒子构成的体系,我们只对其中一个进行旋转操作,那么这种操作就会引起不同粒子之间的相位差的变化,这时候『转两圈才还原』这种事情才能出现可观察的效应。

以前我看Feynman或者Dirac所演示的那种『转两圈才还原』的演示实验,觉得非常不理解,因为所有这些演示都要把被旋转的东西连接到一个固定的东西上,而我们通常的旋转没有必要这样做。但现在想想这些演示是恰当的。因为如果仅仅是一个单一的qubit,旋转操作跟普通的旋转没有差别。只有当一个qubit跟某些作为背景的系统关联的时候,转动操作才会引发qubit相对于背景系统的相位差的变化,因此他们的演示应该说是非常恰当的。

不要把科学研究偷偷打上道德标签。

看到一则新闻,说婴儿能够分辨『好坏』:
http://tech.qq.com/a/20071127/000080.htm

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谁说婴儿不分好坏?

耶鲁大学的这项研究刊登在11月22日出版的《自然》杂志上。负责这项研究的基利·哈姆林说,决定与谁合作共事是人类和其他社会性动物的一个重要能力。当选择合作伙伴时,能够判断出谁是潜在的合作对象是非常重要的。众所周知,成人具备这样的能力,但哈姆林想知道人类是从多大起开始发展这项能力的,是否婴儿能够区分“好人”和“坏人”。

哈姆林和她的同事们为此进行了实验。他们向6个月大的一组婴儿和10个月大的一组婴儿演示一个拟人化的“木偶表演”,即用3个不同形状的木块扮演3个角色:试图登上一座山的“攀登者”、代表“好人”的“帮助者”以及代表“坏人”的“阻碍者”。“帮助者”协助“攀登者”爬上山,而“阻碍者”则将“攀登者”推下山。

随后,研究人员将代表“帮助者”和“阻碍者”的木块放在一起让两组婴儿挑选,在16名10个月大的宝宝中有14个更喜欢“帮助者”,12名6个月大的宝宝选择的全是“好人”。这表明婴儿们对“乐于助人”的“帮助者”更有好感。

哈姆林表示,虽然实验还不能反映出婴儿们对“好人”的偏爱是否是一种天生的能力,但可以肯定的是,这不可能是大人教给孩子们的。她说:“也许这是婴儿们与生俱来的。”

哈姆林和她的同事们认为,区分“帮助者”和“阻碍者”的能力是形成道德观念的第一步。哈姆林说:“当然这只是猜测,但是我们认为,任何道德体系的基础应当是能够区分亲社会和反社会因素和行动之间的不同的能力。”
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我不知道研究者的原文是什么,但『帮助』与『阻碍』被确定为『好』与『坏』很荒谬。帮助或阻碍希特勒的行为,其好坏也能如此简单的判定么?与其说婴儿能够分辨『好坏』,不如说婴儿能够分辨出别人的行为中哪些容易威胁到自己,那些可能满足自己。但如果你说这就是判断『好坏』,那么事实上你就已经假设了一套普遍有效的道德标准。做实验的人,你就老老实实地根据实验结果说婴儿能区分出帮助和阻碍,并且倾向于跟帮助者亲近,这就够了,不要扯上好坏。当然,我承认道德标准这种东西最终是由这种本能的需求通过社会博弈过程逐步形成的,但如果你把你自己的道德标准伪装成科学结论或者掺混在科学结论中,就不是科学。

号称世界上最难的逻辑题

已知:
1.神无所不知只说真话,鬼无所不知只说假话,人有所不知胡乱说话,除此之外三者没有任何区别。他们一定回答且只能回答任何有确定答案的是非题。
2.“Da”和“Ja”一个永远代表“是”另一个永远代表“否”,但你完全不知道二者分别代表哪个。

问题Z:你面前站着神、鬼、人各一,你不知道三者分别是谁,你必须通过提问正确区分出三者。你每次只能对其中一个提问,一共只能问三次,但你每次提问得到的回答只能是“Da”或“Ja”。

如果你觉得Z太难,这里有一个简化版Z’:跟Z类似,但得到的答案只能是“是”或“否”。

如果你还是觉得太难,还有一个更简单的问题Y:你面前有两条路,一条通向天堂,一条通向地狱。路口站着神、鬼各一,你不知道二者分别是谁。你现在只能对其中一个提出一个是非题,判断出哪条路通向天堂。但你提问得到的回答只会是“Da”或“Ja”。

如果你觉得Y也太难,也可以简化为Y’:跟Y类似,但得到的答案只会是“是”或“否”。

附加条件:
如果你解决了Z或Z’,那么请加一个条件:你对其中一个问的问题中不允许同时提及另外两个。
如果你解决了Y或Y’,那么请加一个条件:你对其中一个问的问题中不允许提及另外一个。

问题Y还可以有如下变体Y”:路口只站着一个家伙,你只知道他要么是神要么是鬼。你现在只能向他问一个是非题,判断出哪条路通向天堂。其他不变。

一点提示:
对A提问:『将鬼、人、神分别编号为1,2,3,那么请问B的编号大于C么?』
对A提问:『如果我问你『B是乱说话的人么?』,你会回答什么?』
对任何一个提问:请问『……』这个问题的答案是Da么?

人对宇宙的认知能力

人类所能够掌握的符号·能·否·完·全·刻·画·经验世界,这种事情断言了也没法验证。

就算能,并且我们手里已经有个理论跟所有已知的经验都一致,我们也照样无法知道这个理论是否就是那个完全刻画了经验世界的理论。只要我们的实践尚未穷尽整个经验世界,换句话说我们还有事情可做,那么我们就不能绝对断定我们手中这个理论必然在任何未知的情况下有效。

就算不能,我们手里的最好理论仍然跟某些经验冲突,我们照样无法知道是不是因为我们只是暂时没有找到那个可以完整刻画经验世界的理论。

数学上可以讨论超限计算模型。这样的计算模型是不能用任何有限符号所完全刻画的,因此数学家只能讨论其可能性和计算能力,但不能真的用这种计算模型解决任何问题。如果这个宇宙就是一台超限计算机,那么我们自然不能用有限符号的任何理论去完全刻画这个宇宙,于是我们的任何理论至多能够近似刻画这个宇宙。但如果因为存在这种可能就断言这个宇宙一定是人类所掌握的符号所不能刻画的超限计算机,则完全没有根据。不知道就是不知道,不知道还非要下断言就是瞎蒙或者撒谎。

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一个自洽的理论A是否『没有在任何已知事件中跟实践显著悖离』,这件事跟A是否『在任何情况下有效描述经验世界』,二者之间没有任何关联。任何一个自洽的理论B,只要B在所有已知事件上的断言都跟A没有显著分歧,却在某些目前尚未有任何直接和间接经验的事件上跟A显著分歧,那么显然B和A都在所有已知事件中符合经验,凡确认了A的任何实践都同样确认了B。因此只要还有实践可以做,都没有绝对的理由认为理论A永远有效,因为还有跟A有不同预言的B。对于任何理论A,都可以构造出理论B,使之满足上述要求(如何构造请自己想)。反过来,即便我们手头的理论都在某些情况下失效,我们也无法知道我们是否只是尚未找到那个完整刻画经验世界的理论,原因类似。

注:有人这样理解奥卡姆剃刀:认为只要现有经验无法区分两种理论,就坚决剔除二者之中较复杂的那个。这是对奥卡姆剃刀的误解,因为奥卡姆剃刀针对的是理论中的超经验内容。这部分内容不会直接或间接导致任何经验上可区分的后果,因此奥卡姆剃刀原则认为理论中这部分超经验的内容对于一个以刻画经验世界为目的的理论是多余的。但对于不含有超经验内容的两个理论,如果二者都跟现有全部经验相容,只是在某些未知情况下有分歧,那么奥卡姆剃刀根本不适用。事实上数学、形式逻辑、形式语言学的研究对象就是非经验的,虽然这些研究所用的手段只能是经验的(例如用脑子思考用笔推导用计算机算等等)。任何经验的证据都不能支撑或者反对一个自洽的数学理论(但数学绝不会号称任何一个特定的数学系统是有关经验世界的真理)。因此,奥卡姆剃刀所针对的就是有关经验世界的理论,也就是所谓的经验科学。经验科学理论之中的完全不(直接或间接)涉及经验的部分可以分离出来作为数学、形式逻辑学、形式语言学的内容,没有必要作为经验科学的内容。