从Bloch球面理解自旋1/2,以及对自旋1/2的旋转操作(发于繁星客栈)

一个qubit的状态可以表达为Bloch球面上一个点。不失一般性,可以选择方向上的本征态将整个Bloch球面上所有的态表达为二者的叠加:,由于全局相位不可观察,所以全局相位角就没有被表达在Bloch球面上。

(注意,这个中的因子并不神秘,因为是Bloch球面上一点在球坐标中的天顶角,该点对应的量子态在两个分量上的归一化系数的绝对值必须是,这一点在Bloch球面上稍加分析就可知道。)

旋转算子相当于将整个Bloch球面绕轴旋转角。简化问题并且不失一般性,我们考虑z表象下绕z轴的旋转算子:。这里面的因子看上去有些诡异,也正是因为这个因子导致了『转两圈才还原』这种事情。

但事实上这并不奇怪,显然,这个矩阵将的相位反向转动了,而将的相位正向转动了。这样,二者的相位差就会增大,在Bloch球面上对应的点刚好是所对应的点绕z轴正向旋转的点。也就是说,旋转操作的作用表现在Bloch球面上,就是对Bloch球面的普通旋转操作,没有任何神秘之处。

但『转两圈才还原』到底是怎么回事呢?因为这里还有一个被抛弃的全局相因子,这个相因子由于对单个qubit是不可观察的,所以在Bloch球面上就被扔掉了。

当我们实施旋转操作的时候,全局相因子转动了,只有转动两整圈的时候,全局相因子才转动了一整圈对于单个qubit,这个全局相因子是完全不可观察的,因此对于单个qubit,我们根本不必关心『转两圈才还原』这回事,无论是把粒子旋转一圈还是把仪器旋转一圈,都不会发现任何可观察的差别。

但是,对于多个自旋1/2的粒子构成的体系,我们只对其中一个进行旋转操作,那么这种操作就会引起不同粒子之间的相位差的变化,这时候『转两圈才还原』这种事情才能出现可观察的效应。

以前我看Feynman或者Dirac所演示的那种『转两圈才还原』的演示实验,觉得非常不理解,因为所有这些演示都要把被旋转的东西连接到一个固定的东西上,而我们通常的旋转没有必要这样做。但现在想想这些演示是恰当的。因为如果仅仅是一个单一的qubit,旋转操作跟普通的旋转没有差别。只有当一个qubit跟某些作为背景的系统关联的时候,转动操作才会引发qubit相对于背景系统的相位差的变化,因此他们的演示应该说是非常恰当的。

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